Онлайн турнір з математики matholymponline.

Завдання 6 (10 клас).На столі стоїть келих, внутрішня поверхня якого отримана обертанням параболи \( y=x^2 \) навколо своєї вісі. У нього кидають кульки радіусів 0,3 , 0,4 , 0,5 , 0,6 ( після кожного кидка кульки дістають і кидають нову). Скільки з цих кульок застрягнуть, не долетівши до дна келиха?

Розглянемо рівняння кола, що має нижною точкою початок координат: \(x^2+(y-p)^2=p^2\) і рівняння параболи \(y=x^2\). Та знайдемо їхні точки перетину:
\(y+(y-p)^2=p^2\)
\(y+y^2-2py=0\)
\(y(1+y-2p)=0\)
\(y_1=0; y_2=2p-1\)
Таким чином при \(p \le 0,5\) парабола і коло будуть мати єдину точку перетину, що буде відповідати торканню кульок нижної точки бокалу, при \(p > 0,5\) кульки не торкнуться нижної точки. Серед наведених варіантів такою буде лише одна кулька.
графік \(x^2+(y-0,5)^2=0,25\) і графік \(x^2+(y-0,6)^2=0,36\)

Завдання 6 (4 клас). У Олафа є чотири кубіка: червоний, синій, зелений і жовтий і баночка з клеєм. Кубіки потрібно приклеїти гранями один до одного, як показано на малюнку. Скільки може вийти різних різнокольорових фігур у Олафа? (Різні повороти фігури вважаються однією фігурою).

Загальне число різних різнокольорових фігур, що не утворюються одна з одної дорівнює 8.
1 спосіб. На кожен колір верхнього кубика є 6 варіантів розміщення нижніх кубиків. Але при такому підрахунку кожна фігура буде порахована тричі

Таким чином загальне число 24:3=8 фігур.
2 спосіб. Кожному кольору кутового кубика відповідає 2 варіанти розміщення інших кубиків.

Таким чином загальне число 4*2=8 фігур.

Завдання 8 (4 клас). На поле чудес в країні дурнів ростуть два чарівних дерева. Якщо закопати монети під одним з них, то на наступний ранок сума збільшується в 3 рази, якщо під іншим то в 5 разів. Відрізнити одне дерево від іншого неможливо. У Буратіно 90 монет. Частина монет він може закопати під одним деревом, частина під іншим, а частина не закопувати. Скільки монет він повинен закопати, якщо йому потрібно вранці мати рівно 300 монет.
Через те що дерева неможливо відрізнити одне від одного, тому Буратино змушений закопувати однакове число монет під кожним деревом. При цьому закопана сума на ранок збільшиться в 4 рази. Тому йому потрібно загалом закопати 70 монет і 20 залишити у себе (це означає по 35 під кожним деревом).

Завдання 4 (5 клас).Скільки різних за величиною кутів можна побачити на рисунку?
Кути \(10^0\), \(20^0\), \(30^0\) і \(50^0\) задано. Ще можна утворити кути \(80^0\), \(60^0\), \(100^0\) і \(110^0\). Тобто всього 8.

Завдання 6 (5 клас).Поночка на дошці написала двозначне число, а Біллі, Віллі і Діллі намагалися ділити це число.
Біллі: це число ділиться без залишку на 8, на 3 і на 5.
Віллі: це число ділиться без залишку на 3, на 7 і на 8.
Дилли: це число ділиться без залишку на 7, на 5 і на 8.
Відомо, що кожен каченя два рази помилився і один раз порахував вірно. Яке найбільше число могла написати Поночка?
З умови маємо, що число ділиться на 8 і не ділиться ні на 3, ні на 5, ні на 7. Найбільше двозначне число, що ділиться на 8 є 96, але воно ділиться і на 3. Число 88 - найбільше, що задавольняє всім умовам.

Завдання 3 (7 клас).Якщо b:a = 4:9 і c:b = 3:5, тоді (a-b):(b-c) дорівнює
\(\frac{a-b}{b-c} = \frac{1-\frac{b}{a}}{\frac{b}{a}-\frac{c}{a}} = \frac{1-\frac{4}{9}}{\frac{4}{9}-\frac{3b}{5a}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{4}{9}\frac{2}{5}} = \frac{25}{8}\).

Завдання 10 (5 клас).До знайомства з Білосніжкою сім гномів 28 років прожили в своєму будинку в лісі. Кожен день п'ять гномів йшли в шахту видобувати алмази, а двоє залишалися вдома на господарстві. Відомо, що за 28 років все гноми побували в шахті рівну кількість разів. Скільки разів за 28 років кожен з гномів спускався в шахту?
За 28 років пройшло \((365 \cdot 4 +1)\cdot 7 = 10227\) днів. Тоді кількість дней, які кожен гном провів у шахті дорівнює \(\frac{5}{7}\cdot 10227=7305\).

Завдання 9 (10 клас).Вкажіть найбільше число на яке число \(N^5 - N\) буде ділитися без остачі при будь-якому натуральному \(N\).
\(N^5 - N = N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\).
Доведемо, що це число буде ділитися на 2, 3 і 5 при будь-яких натуральних значеннях \(N\).
Якщо \(N\) парне число, тоді добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) ділиться на 2, якщо \(N\) непарне число, тоді \((N^2-1)\) - парне і добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) також ділиться на 2.
якщо \(N\) ділиться на 3, тоді добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) ділиться на 3,
якщо \(N\) дає остачу 1 або 2 при діленні на 3, тоді \((N^2-1)\) - ділиться на 3 і добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) також ділиться на 3.
якщо \(N\) ділиться на 5, тоді добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) ділиться на 5,
якщо \(N\) дає остачу 1 або 4 при діленні на 5, тоді \((N^2-1)\) - ділиться на 5 і добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) також ділиться на 5,
якщо \(N\) дає остачу 2 або 3 при діленні на 5, тоді \((N^2+1)\) - ділиться на 5 і добуток \(N\cdot(N^2-1)(N^2+1)\) також ділиться на 5.
Якщо число ділиться на 2, 3 і 5, то воно ділиться і на найменьший спільний дільник цих чисел, тобто на 30.

Завдання 2 (5 клас).Скільки різних натуральних чисел можна отримати розставляючи знаки "+" між цифрами числа 2016 (повинно бути використано хоча б один знак)?
2+0+16=18
2+0+1+6=9
20+16=36
20+1+6=27
201+6=207

Завдання 9 (5 клас).Скільки існує квадратів, усі вершини яких розміщені в зображених точках? Квадрати можуть бути різних розмірів і різного розміщення?

Розв'язання задач бонусного наведено в журналі Математика в школах України № 9 (525)

Завдання 3 (4 клас).Назвемо тризначне число дивовижним, якщо воно ділиться на 3, а перша і остання цифри у нього однакові. Чому дорівнює найменша різниця між двома дивовижними числами?
Існує 3 пари дивовижних чисел, що відрізняються одне від одного на 21: (282;303) і (585;606) і (888;909).

Завдання 6 (9 клас).Верблюда попросили перевезти 200 бананів з одного міста в інше. Відстань між містами 100 км. Верблюд може підняти (перевозити) не більше 100 бананів. Після того, як верблюд пройшов один кілометр він з'їдає один банан. Яку максимальну кількість бананів верблюд зможе довезти до іншого міста? (Верблюд може повертатися за залишеними бананами.)
Спочатку верблюд бере 100 бананів і проходить 33,5 км, де залишає 34 банани. Потім повертається в початковий пункт, де зїдає 1 зі 100 бананів, що залишилися, і решту 99 бере з собою. На своєму шляху верблюд має підібрати 34 банани. І в кінцевому пункті має 99+34-100=33 банани.

Завдання 5 (9 клас).Про функцію \( f(x)=ax^2+bx+c\) відомо, що \(a≠0\) і \(f(x)<0\) при всіх \(x\). Тоді обов'язково виконується нерівність:

  1. \(a(a + b + c) < 0 \)
  2. \((a – b + c)\cdot c < 0\)
  3. \(\frac{b}{a} <\frac{a}{c}+1\)
  4. \(a\cdot c<0\)
  5. \(b^2>(a + c)^2\)
  6. інша відповідь
З умови задачі відразу маємо \(a<0\). Крім цього \(f(0)=c<0; f(1)=a+b+c<0; f(-1)=a-b+c<0\). Тому 1,2 і 4 умови не виконуються. Контрприклад для третьої умови запропонований Сергієм Яковін:
\(a=-1, b=-3, c=-4\).
\(f(x)=-x^2-3x-4=-(x+1.5)^2-1.75<0\), а \(-3/-1<-1/-4+1\), тобто 3<1.25, що є невірно.
Контрприклад для п'ятої умови:
\(a=-1, b=0, c=-1\).
\(f(x)=-x^2-1<0\), і при цьому \(b^2 < (a + c)^2\).
Таким чином, жодна з п'яти перших відповідей не є правильною, тому варіант 6)інша відповідь.

Завдання 3 (4 клас). Фрекен Бок поставила на стіл 15 тарілок з булочками. На першій тарілці лежить одна булочка, на другий - дві, на третій - три, і так далі. Іноді в вікно влітає Карлсон, вибирає кілька тарілок і з'їдає з кожної з них однакову кількість булочок. За яку найменшу кількість візитів Карлсон зможе з'їсти всі булочки?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Завдання 9 (4 клас).Скрудж Макдак купается в деньгах только в понедельник, пятницу и по нечетным датам. Какое наибольшее число дней подряд Скрудж Макдак может купаться в своих деньгах?
29 четвер
30 пятниця
31 субота
1 неділя
2 понеділок
3 вівторок

Завдання 8 (10 клас).Через точку всередині трикутної піраміди провели чотири різні площини, кожна з яких паралельна одній з граней піраміди. На скільки частин ці площини розбивають піраміду?

Якщо провести спочатку площину, паралельну нижній основі (чорний олівець), то вона розбиває піраміду на 2 частини. Жовта і зелена площини розбивають кожну з наявних частин на дві. Таким чином утвориться 8 частин. Остання (синя) площина не перетинає піраміди \(ABCM\) і похилу призму \(PKMNP_1K_1M_1N_1\). В результаті маємо 14 частин.
альтернативне пояснення, наприклад тут.

Завдання 3 (8 клас).Знайка і Незнайка взяли участь у шаховому турнірі разом з десятьма іншими коротунами. Відомо, що Знайка виграв не всі партії, і не всі партії програв Незнайка. Яка найбільша можлива різниця між кількістю очок, набраних цими коротунами? (За перемогу в шаховій партії нараховується 1 очко, за поразку - 0 і за нічию кожен отримує по 0,5 бала)
Твердження "Знайка виграв не всі партії" в тому числі означає і те, що він міг і програти всі партії, тобто набрати 0. Аналогічно Незнайка міг виграти всі партії, що не протирічить умові "не всі партії програв Незнайка" і набрати при цьому 11 очок.

Завдання 5 (7 клас).Знайка і Незнайка взяли участь у шаховому турнірі разом з десятьма іншими коротунами. Відомо, що Знайка виграв не всі партії, і не всі партії програв Незнайка. Яка найбільша можлива різниця між кількістю очок, набраних цими коротунами? (За перемогу в шаховій партії нараховується 1 очко, за поразку - 0 і за нічию кожен отримує по 0,5 бала)
Твердження "Знайка виграв не всі партії" в тому числі означає і те, що він міг і програти всі партії, тобто набрати 0. Аналогічно Незнайка міг виграти всі партії, що не протирічить умові "не всі партії програв Незнайка" і набрати при цьому 11 очок.

Завдання 9 (5 клас). Яку найбільшу кількість різних прямокутників можна знайти на малюнку?

Кількість прямокутників кожного вигляду наведена нижче.
12
8
9
4
6
3
6
3
4
2
2
1
12+8+9+4+6+3+6+3+4+2+2+1=60.

Завдання 3 (4 клас). \(\) Скільки разів протягом доби годинна і хвилинна стрілки годинника збігаються?
Якщо рахувати співпадіння стрілок о 0:00 і о 24:00 того самого дня, тоді кількість співпадінь буде 23, якщо рахувати таке співпадіння лише один раз, тоді число співпадінь буде 22. Зараховані будуть обидві відповіді.

Завдання 5 (4 клас). \(\) На столі лежали різнокольорові олівці: 7 червоних, 6 зелених і 3 жовтих. Скільки олівців потрібно взяти, щоб серед них обов'язково було три олівця одного кольору?
Найменша кількість олівців, яку потрібно взяти, щоб серед них обов'язково було три олівця одного кольору, дорівнює 7. Тому відповідь 7 була оцінена максимальною кількістю балів. Відповіді від 8 до 16 були оцінені двома балами.

Завдання 8 (10 клас). \(\) Дія \( a \oplus b \) задається наступним чином:
\( a \oplus b = a + 2b^2 \), якщо \( a+b>10 \) і \( a \oplus b = 2b+3a^2 \), якщо \( a+b \leq 10 \). Обчислити \( 20 \oplus (1 \oplus 6) \).
Спочатку потрібно виконати дію в дужках: \( 1 \oplus 6 \) за визначенням дорівнює \( 1 \oplus 6 \) = \( 2\cdot 6+3\cdot1^2 \) = \(12+3=15\). Тепер \( 20 \oplus 15 \) = \( 20+2\cdot 15^2 \) = \( 20+450=470 \). В першому обчисленні використовується формула \( a \oplus b = 2b+3a^2 \) бо сума аргументів менше 10, а у другому випадку сума аргументів вже більше 10, тому потрібно використовувати формулу \( a \oplus b = a + 2b^2 \).

Бонусне завдання 4-6 класу. Фінал Ліги Чемпіонів 2017 буде проведений на Олімпійському стадіону у Києві. Для учасників олімпіади було придбано 15 квитків сумарна вартість яких становить 21500 грн. Відомо, що білети в фан-сектор коштують 100 грн., квитки до сімейного сектора – 900 грн., а квитки до VIP-зони коштують всі 4500 грн. З’ясуйте скільки яких квитків придбали організатори. Відповідь введіть у форматі n/m/k, де n це число квитків до фан-сектору, m - число до сімейного сектору і k - до VIP-зони.
Кількість квитків по 4500 грн повинна бути не менше 2 і не більше 4. Якщо квитків по 4500 грн було менше 2, тоді загальна сума грошей, витрачена на білети не перевищувала б 4500+14*900=17100 грн. Якщо ж квитків по 4500 грн було більше 4, тоді було витрачено більше 22500 грн. Розглянемо окремо 3 випадки:
1) Кількість квитків до VIP-зони 2. Тоді на них було витрачено 9000 грн, а на решту 13 квитків залишається 12500грн. Якщо навіть усі інші квитки будуть по 900 грн, то їх сумарна вартість складе 11700 грн. Тому такий варіант неможливий.
2) Кількість квитків до VIP-зони 3. Тоді на них було витрачено 13500 грн, а на решту 12 квитків залишається 8000грн. Серед цих 12 квитків не може бути менше 8 квитків за 900 грн. Тому перевіряємо такі варіанти: 8*900+4*100=7600; 9*900+3*100=8400; 10*900+2*100=9200; 11*900+1*100=10000 і 12*900+0*100=10800. Тому такий варіант теж неможливий.
3) Кількість квитків до VIP-зони 4. Тоді на них було витрачено 18000 грн, а на решту 11 квитків залишається 3500грн. Серед цих 11 квитків не може бути більше 4 квитків за 900 грн. Тому перевіряємо такі варіанти: 0*900+11*100=1100; 1*900+10*100=1900; 2*900+9*100=2700; 3*900+8*100=3500. Останнє значення дає відповідь задачі (8/3/4).
П.С. В старших класах можна розв'язувати цю задачу склавши систему діофантових рівнянь. Позначимо кількість квитків по 4500 грн за x, квитків по 900 грн за y, квитків 100 грн за z. Тоді маємо рівняння \(x+y+z=15\) і \(4500x+900y+100z=21500\).
Якщо друге рівнянн розділити на 100, то \(45x+9y+z=215\). \(44x+8y=200\), \(11x+2y=50\). Розв'язок цього рівняння слід шукати у натуральних числах.

Бонусне завдання 7-8 класу. Кролик розклав по колу 2016 морквин пронумерувавши кожну з них числом від 1 до 2016 у порядку зростання. Потім через кожну годину він з’їдав кожну другу морквину, що залишалася у колі. Морквину з яким номером Кролик з’їсть останньою? П.С. Якщо б морквин було 7, то Кролик би з’їв їх у такому порядку: 2,4,6,1,5,3 і останньою була б морквина з номером 7..
Задача є інтерпретацією задачі Іосіфа Флавія. Детально розв'язок задачі представлено, наприклад, на Вікіпедії. Програма, що дає результат для 2016 морквин тут.

Бонусне завдання 9-10 класу. Знайдіть найменше натуральне число, яке має 2016 різних дільників.
Для знаходження кількості дільників будь-якого числа потрібно мати його канонічне розкладання (розкладання на прості множники). Наприклад для числа 2016 таким розкладанням є \(2^5\cdot 3^2\cdot 7\). Кожен дільник числа 2016 має вигляд \(2^n\cdot 3^k\cdot 7^p\), де \(n\le 5, k\le 2, p\le 1\). Таким чином \(n\) може приймати одне з 6 значень, \(k\) - одне з 3 значень і \(p\) - одне з двох значень. Тоді загальна кількість дільників числа 2016 дорівнює \(6\cdot 3\cdot 2=36\). Шукане число повинно мати 2016 дільників (\(2\cdot2 \cdot2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\)). Щоб шукане число було найменшим можливим, необхідно брати найменьши прості множники (\(2^6\cdot3^2 \cdot5^2 \cdot 7 \cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\)).

П.С. Єдину правильну відповідь ми отримали в останій день бонусного туру о 21:00 (вже й не очікували) ).